blog de cours2maths.com - Arnaud Glorion

Un petit problème qui rappelle ceux-ci car il aboutit comme eux à la pose d'une équation du second degré.

Un automobiliste parcourt une distance de 240 km, pour moitié sur autoroute, pour moitié sur route, chacun de ces types de parcours étant caractérisé par une vitesse que l'on considère constante.
Il met 2 heures 30 à parcourir son trajet total.

S'il partage son parcours en deux non plus sur la base de la distance, mais sur la base du temps de parcours (autrement dit moitié du temps sur route et autant sur autoroute), il gagne 6 minutes.

Question : quelles sont ses vitesses respectives sur route et sur autoroute ?

Trois petits problèmes accessibles à un élève de première S prêt à affronter une situation dont le cheminement intellectuel n'est pas pré-mâché.
Des questions comme je les affectionne :

1) Un banquet réunit 800 convives, assis équitablement sur des bancs.
Si l'on enlevait 20 bancs, chaque banc devrait accueillir 2 personnes de plus.
Combien y a-t-il de bancs ?

2) Vous parcourez une distance de 33 km en un temps t.
Si vous abaissiez votre vitesse moyenne de 20 km/h, votre temps de parcours serait augmenté de 4 minutes.
Quel est votre temps de parcours habituel ?

3) Un couscous géant est organisé.
489,6 kilogrammes de couscous sont à partager entre les invités.
Attirés par l'aubaine, les organisateurs doivent faire face à l'arrivée de 60 convives supplémentaires en réduisant chaque portion de 30 grammes.
Combien de convives étaient initialement prévus ?

fichier à imprimer

Voir ici deux exercices corrigés, et cinq exercices à réaliser.

Fichier pour OpenOffice, que je vous recommande d'installer si ce n'est pas déjà fait.

Pour Marine.
Rappel de l'énoncé : dans la figure ci-contre (clique !), constituée d'un carré et de deux triangles équilatéraux, exprimer les vecteurs DE et DF en fonction des vecteurs AB et AD, puis en déduire que les points D, E et F sont alignés.


Il nous est précisé que l'on pose AB = a, et il fallait en effet utiliser cette donnée.
Rappel sur le triangle équilatéral : il s'agit d'un triangle, en forme de triangle , dont les trois angles sont égaux à Pi/3.
Si l'on partage ce triangle en deux par le milieu (ce qui n'est pas à conseiller) on obtient deux moitiés de triangle (je suis décidément en forme ce soir).
Plus sérieusement, on peut écrire dans un triangle MNP, avec I milieu du segment MN :
sin(Pi/3) = PI/PN = rac(3)/2
Je note à partir d'ici rac(x) pour racine carrée de x.
Ce qui entraine :
PI = rac(3)/2 * PN
ou, si l'on nomme a la longueur d'un côté :
PI = rac(3)/2 * a

À partir d'ici, faute de pouvoir noter correctement les vecteurs sur ce blog, je te demande de considérer que AB désigne le vecteur AB, et de même pour tous les couples de lettres majuscules qui désignent désormais des vecteurs.

En généralisant aux vecteurs ce que l'on vient de démontrer, et en s'appuyant sur les propriétés du triangle équilatéral, mais aussi à des propriétés géométriques de base qu'il faudrait détailler pour être parfaitement rigoureux, on peut écrire :

IE = rac(3)/2 AD
et
JF = rac(3)/2 AB

En décomposant les vecteurs DE et DF :
DE = DA + AI + IE
= -AD + 1/2 AB + rac(3)/2 AD
= 1/2 AB + (rac(3)-2)/2 AD

DF = DC + CJ + JF
= AB - 1/2 AD+ rac(3)/2 AB
= (2+rac(3))/2 AB - 1/2 AD

La proportionnalité entre les coordonnées respectives des deux vecteurs n'étant pas évidente, il faut faire le calcul...
Je te conseille de poser ce calcul sur papier.

( (2+rac(3))/2 ) / 1/2 = 2 + rac(3)

-1/2 / (rac(3)-2)/2 = 1 / (2-rac(3))
= (2+rac(3)) / (4-3)
= 2 + rac(3)
(simplification usuelle d'une fraction contenant des racines carrées, ce grâce à la forme conjuguée du dénominateur)

On a donc la relation :

DF = ( 2 + rac(3) ) DE

Autrement dit, les vecteurs DF et DE sont colinéaires, d'où il découle que D, E et F sont alignés.

Passionnant, non ?
Allez, courage !