blog de cours2maths.com - Arnaud Glorion

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samedi 14 janvier 2012

Problème de poubelles

Une communauté de communes propose pour le service d'ordures ménagères des poubelles de 120 ou 180 litres.
Pour l'utilisation d'un bac de 120 litres, un forfait annuel de 70 euros est facturé, auquel s'ajoute 4,50 euros pour chaque levée.
Pour le bac de 180 litres, le forfait et le prix de la levée sont portés à 100 et 5 euros, respectivement.
Les bacs sont levés une fois pleins.
On considère nul l'effet du foisonnement.
Chaque résultat de calcul sera d'abord donné sous la forme d'une fraction irréductible, puis en écriture décimale, avec arrondi au plus proche dans les modalités suivantes :
- 0,1 près pour les nombres de levées,
- au centime d'euro près pour les prix,
- au litre près pour les volumes.

1. Considérons un ménage qui évalue le volume annuel de ses déchets à 1,8 mètre cube.
Calculer, selon le type de bac choisi, le nombre de levées nécessaire, puis la facture annuelle.

2. Appelons désormais x le volume annuel en mètres cubes, f la fonction qui à x associe le coût annuel total de l'utilisation du bac de 120 litres, et g la fonction qui à x associe le coût annuel total de l'utilisation du bac de 180 litres.
Déterminer, en fonction de x, le nombre de levées nécessaire dans chacun des deux cas, puis les expressions de f(x) et g(x).
Les coefficients seront présentés sous la forme de fractions irréductibles.

3. Résoudre l'équation f(x) = g(x).
Interpréter le résultat obtenu.

4. Répondre graphiquement ou algébriquement (voire à l'aide des deux méthodes) à la question suivante : à partir de quel volume de déchets l'usage du bac de 180 litres coûte-t-il au moins 10 euros de moins que celui du bac de 120 litres ?
À combien de levées cela correspond-il pour le bac de 180 litres ?

Problème inspiré de données réelles mais simplifiées.

jeudi 15 décembre 2011

Animation

Petite animation vite réalisée pour illustrer un exercice décrivant la longueur d'une ligne polygonale en fonction du côté du premier carré.
Cliquez sur l'image.
carres.gif

samedi 19 novembre 2011

Aire du trapèze & du triangle pour se familiariser les fonctions

Voici un exercice pour des élèves de seconde.
Pré-requis :

  • connaître l'aire du triangle et du trapèze,
  • savoir placer des points dans un repère,
  • connaître son cours sur les fonctions de référence.

C'est volontairement que je fais précéder la constatation graphique de la démonstration par le calcul.

format OpenOffice ; format pdf ; lien Google Viewer

samedi 5 novembre 2011

Introduction aux fonctions

Bonne vidéo.
Une petite coupure du son à 1 min 25, mais qui n'enlève rien à la compréhension.

vendredi 7 octobre 2011

Factorisation, développement, calcul d'images & résolution d'équations

Un exercice de révision & approfondissement pour les élèves qui viennent de rentrer en seconde.

Format pdf
Formation OpenOffice (.odt)

NB : certaines questions du 3 et surtout du 4 nécessitent un bon niveau.

factorisation, développement, images, équations

samedi 11 octobre 2008

Ce triangle est-il isocèle ?

Triangle isocèle ? Soit un triangle ABC.
Soit K le point de [AB] tel que CK est une hauteur du triangle.
Et H le point de [AC] tel que BH est une 2ème hauteur.
On sait que BH = CK
La question est :
ABC est-il isocèle ?

Une première piste de résolution

Les angles BKC et CHB sont de même mesure car ce sont des angles droits en raison des propriétés de la hauteur d'un triangle.
On ne peut rien dire par contre des deux autres paires d'angles.
Du côté des longueurs, on a d'après l'énoncé BH = CK et [BC] segment commun aux deux triangles.
Idéalement pour démontrer l'isométrie des triangles KBC et HCB, il nous faudrait savoir si les angles KBC et HCB sont égaux, ce qui reviendrait à utiliser le caractère isocèle du triangle ABC, lequel n'est pas encore démontré puisque c'est ce que l'on cherche à faire...
Il faut donc trouver autre chose.

N'oublions pas que nous sommes en présence de deux triangles particuliers

Nos triangles BKC et CHB sont rectangles en K et H, respectivement.
D'où il découle que par application du théorème de Pythagore, on peut écrire :
KB² + KC² = BC² et HB² + HC² = BC²
dont on déduit aisément :
KB² = BC² - KC² et HC² = BC² - HB²
et comme KC = HB, on a alors KB² = HC²
et donc KB = HC

Nous sommes donc en présence d'une paire d'angles droits (BKC et CHB) encadrés par deux paires de segments de même longueur (KB = HC et KC = HB).

Donc les triangles BKC et CHB sont isométriques.

D'où il découle que KBC et HCB sont des angles de même mesure.
Enfin, les angles KBC et ABC d'une part, HCB et ACB d'autre part étant confondus, le triangle ABC est donc isocèle en A.

NB : désolé pour la notation des angles, sur laquelle on devrait normalement voir un "chapeau".

dimanche 31 août 2008

Réponse sur une résolution d'inéquation du second degré

Un(e) élève m'a écrit :

Bonjour,
J'ai un problème pour des exercices sur les inéquations.

Par exemple pour : (x+2)²<1
je fais : x²+4x+4<1
x²+4x<-3

C'est normal, tu ne peux pas y arriver comme cela.
Ici, il ne fallait pas développer, mais passer la constante (1) à gauche.
Ensuite, tu es en présence d'une identité remarquable du type a²-b² que tu factorises sous la forme (a+b)(a-b).
Une fois que tu as réduit cette forme factorisée, tu établis un tableau de signes.
Bon courage.

mercredi 18 juin 2008

Révisions plus ou moins ludiques pour la 1ère ES

Quelques exercices plus ou moins inspirés de manuels, plus ou moins de ma composition, destinés aux élèves de seconde entrant en première ES:
- format OpenOffice,
- format pdf.

Les savoirs à mettre en oeuvre sont essentiellement les suivants :
- factorisation et développement,
- calcul d'images,
- résolutions d'équations du 1er et du 2nd degré,
- systèmes de deux équations à deux inconnues,
- théorème de Pythagore,
- puissances,
- pourcentages.
Cette série n'est évidemment pas exhaustive, d'autres suivront peut-être.

Edit 26 juin : la résolution d'équations du 2nd degré avec calcul du discriminant n'est pas au programme de 2nde, mea culpa.

vendredi 26 octobre 2007

Points cocycliques

C'est expliqué ici.

Des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle. Deux points, trois points non alignés sont cocycliques. Quatre points A,B,C,D non alignés sont cocycliques si et seulement si :
cocyclique1.gif

vendredi 24 août 2007

Trouver les valeurs maximales et minimales

minmax.png

jeudi 10 mai 2007

Construire une parabole à la règle et au compas

Ceci est un exercice trouvé dans un manuel de seconde, qui demande un cheminement de pensée peu guidé par l'énoncé.

Voici le sujet : dans un repère orthonormé par un point O et deux vecteurs u et v, placer un point A de coordonnées (x;0) avec x réel positif, puis construire le point de coordonnées (x;x²) à la règle non graduée et au compas, en s'aidant du théorème de Thalès.

Comment procéder ?

Imaginons le problème résolu et observons la parabole obtenue (grâce à une calculatrice graphique par exemple, ou en la traçant après avoir déterminé les coordonnées de quelques points).

parabole
Pour appliquer le théorème de Thalès, il nous faut un triangle coupé par une droite parallèle à une des bases.
De quels points pouvons-nous disposer :
- le point O, origine du repère,
- le point A, de coordonnées (x;0)
- le point B, de coordonnées (x;x²).
Ces 3 points constituent le triangle OAB.

parabole
Pour tracer une parallèle à l'une des bases, il nous faut 2 points supplémentaires.
De toute évidence, il ne faut pas prendre un autre point sur la parabole, sinon nous ne constaterons pas d'alignement sur 3 points.

parabole
Au moins un autre point est connu : le point U, tel que les vecteurs u et OU sont égaux.
Ajoutons le point C, intersection de (OB) et de la parallèle à (AB) passant par U.


parabole
(UC) et (AB) sont parallèles, car perpendiculaires à l'axe des abcisses et donc, en application du théorème de Thalès, on a :
OU/OA = OC/OB = UC/AB
On connait les valeurs suivantes :
OU = 1
OA = x
AB = x²
donc 1/x = UC/x²
ce qui entraine :
UC = x²/x = x

Voilà donc la clé du problème.

Partant des points cités au début, O, U et A, il faut donc tracer une perpendiculaire à l'axe des abcisses passant par U,

parabole
puis reporter sur cette droite la valeur OA=x à partir de U pour placer C.

parabole
Ensuite, traçons la droite (OC) et plaçons le point concourant à (OC) et à la parallèle à (UC) passant par A.

parabole
Ce point est le point B.
On peut ensuite tracer d'autres points en suivant cette méthode, et pour les valeurs de x négatives en procédant symétriquement par rapport à l'axe des ordonnées.

parabole

mardi 3 avril 2007

Il manquait un signe dans le lac...

Pour Anaïs.

equation_anais.png
On peut vérifier en remplaçant la solution obtenue dans chacun des membres de l'équation, ce qui donne :
equation_anais_verification.png
Je t'ai enseigné ce matin que le degré d'une équation polynomiale ne pouvait pas augmenter au cours de sa résolution (ce qui veut dire que quand tu l'observes, c'est qu'il y a forcément une boulette quelque part).
Ici, tu pourras constater qu'au contraire, le degré de l'équation diminue (du 2nd au 1er) durant sa résolution, et ce par le jeu d'une annulation des deux termes du second degré.
Des questions ?

lundi 12 mars 2007

Calcul de coordonnées de vecteurs et points dans un repère

vecteurs Pour Anaïs.
Je te propose ici une résolution de l'exercice 75 page 280 de ton livre, que nous n'avons pas pu terminer la fois passée faute de temps.
En cours, tes calculs étaient exacts, mais les données utilisées n'étaient pas toutes les bonnes. Attention, il te faut faire preuve de plus de rigueur.

Pour les détails du calcul, il faut voir ce fichier joint.
Comme tu connais désormais les bases de l'utilisation d'un tableur, tu devrais comprendre, sinon je détaille bien sûr.

Tu verras dans quelque mois que les points A', B' et C' sont les images respectives de A, B et C par une homothétie de centre E et de rapport 5/4, mais aussi que ce problème peut-être résolu sans calculs numériques par l'utilisation de relations de Chasles.
Mais ce sera dans une autre aventure. ;)

mercredi 31 janvier 2007

Pour Aurélia, triangles semblables et isométriques

triangles semblables et isométriques Il te reste le IV à terminer, ensuite je te conseille vivement de faire le V.
Si tu bloques sur un ou plusieurs points, n'hésite pas à commenter ou à me téléphoner.
A+