NB : a^b veut dire "a puissance b"

x^(1/3) - 8 x^(-1/3) =< 7
 des valeurs interdites ? oui : zéro !
x^(2/3) - 8 =< 7 x^(1/3)
x^(2/3) - 7 x^(1/3) - 8 =< 0

Posons X = x^(1/3) (la seule difficulté, qui n'en est pas vraiment une, résidait ici).
L'équation devient :
X^2 - 7X - 8 =< 0
Les bornes de l'intervalle solution de cette inéquation sont -1 et 8.
Et ce polynôme est négatif entre ses racines.
La fonction cube étant croissante, elle ne va pas modifier le signe entre les 2 bornes, pas plus qu'à l'extérieur.
Cependant, il est d'usage que considérer que X = x^(1/3) implique x>=0.
(même s'il s'agit d'une notation de la fonction racine cubique et que cette dernière est définie sur R, par exemple "racine cubique de -8" a pour solution -2)
Par ailleurs, 0 est valeur interdite ; on ne retiendra donc que les valeurs strictement positives.
Comme 8^3 = 512, l'intervalle solution est [0 ; 512].

NB : je n'ai pas l'énoncé sous les yeux, mais il est possible que l'inéquation était à résoudre sur R, non ?

PS : À la réflexion, je m'aperçois qu'il aurait été plus simple d'écrire tout de suite qu'étaient interdites toutes les valeurs de ]-infini ; 0].