Précisons ici qu'un point d'inflexion peut se définir comme étant le lieu de changement de la concavité sur une courbe, autrement dit, quand cette courbe, de convexe, devient concave, ou de concave, devient convexe.
Les points d'inflexion sont aussi ceux où la tangente traverse la courbe.
Par exemple, la représentation graphique de la fonction cube connait un point d'inflexion à l'origine du repère (faire un essai sur une calculatrice graphique pour ceux qui ont oublié).

Comment repérer ces fameux points d'inflexion, et surtout ceux que l'étude de la dérivée première ne met pas en évidence ?
Tout simplement en étudiant le sens de variation de cette dérivée première, grâce à la détermination du signe de sa propre dérivée, que l'on appelle dérivée seconde.

Pourquoi ?
Sans rentrer dans une démonstration trop compliquée, on peut l'expliquer de façon intuitive :
Aux abords d'un point d'inflexion, l'on constate que, sans changer de sens de variation, la fonction évolue de moins en moins vite, avant d'évoluer de plus en plus vite. Ou au contraire, la fonction évolue de plus en plus vite, avant d'évoluer de moins en moins vite.
Cela veut dire aussi que si l'on traçait des tangentes en plusieurs points de la courbe avant et après le fameux point, soit on verrait le coefficient directeur de ces tangentes (égal pour mémoire à la dérivée) diminuer avant de recommencer à augmenter, soit il augmenterait avant de diminuer à nouveau.
Autrement dit, il nous faut donc bien étudier le sens de variation de la dérivée première, ce que l'on fera en déterminant le signe de la dérivée seconde...

Voir le point d'inflexion sur Wikipedia pour plus de détails.

Un exemple :

Etudions f définie comme suit :
f(x) = ln (x^2 + 1) + 10/9 x
NB : je ne détaillerai pas tous les développements.

En dérivant, on trouve :
f'(x) = (10/9 x^2 + 2 x + 10/9) / (x^2 + 1)
Le dénominateur de cette fonction est de toute évidence strictement positif pour tout x, et la recherche du discriminant du numérateur permet de démontrer que ce dernier est lui aussi strictement positif pour tout x.
On a donc, pour tout x réel : f'(x) > 0
f est par conséquent strictement croissante.
Pas de valeurs interdites, la limite en "moins l'infini" est "moins l'infini", en "plus l'infini" c'est "plus l'infini" (je l'admets pour gagner du temps).
Je vais ensuite déterminer f(0)=0 (facile !), puis des valeurs approchées, pour f(-6), f(-3) et f(4).
Puis je trace à main levée la courbe suivante (cliquez !), en laissant apparaître un point d'inflexion à l'origine et, soyons fous, un autre aux abords de x=-5.

ln_4pts_sans_inflexion.png

Et bien cette courbe est nulle !


Si j'avais pris la peine de déterminer la dérivée seconde (ce que mon fils vient de me suggérer ;) ), je n'aurais pas perdu de temps avec cette horrible courbe, car j'aurais trouvé le résultat suivant :

f''(x) = 2 (x+1) (1-x) / (x^2+1)^2

Cette dérivée seconde s'annule aux points d'abscisse -1 et 1, où se trouvent donc les fameux points d'inflexion.
Reste à déterminer f(-1), f(1), f'(-1), f'(1), pour enfin trouver les équations des tangentes en ces mêmes points.

En -1 :
f(-1) = -10/9 + ln 2
f'(-1) = 1/9
équation de la tangente : y = 1/9 x - 1 + ln 2

En 1 :
f(1) = 10/9 + ln 2
f'(1) = 19/9
équation de la tangente : y = 19/9 x - 1 + ln 2

Ceci nous permet de tracer les tangentes, puis une courbe un peu plus présentable.

ln_point_d_inflexion.png

C'est pas beau ?


Bon allez, bonne nuit !