Triangle isocèle ? Soit un triangle ABC.
Soit K le point de [AB] tel que CK est une hauteur du triangle.
Et H le point de [AC] tel que BH est une 2ème hauteur.
On sait que BH = CK
La question est :
ABC est-il isocèle ?

Une première piste de résolution

Les angles BKC et CHB sont de même mesure car ce sont des angles droits en raison des propriétés de la hauteur d'un triangle.
On ne peut rien dire par contre des deux autres paires d'angles.
Du côté des longueurs, on a d'après l'énoncé BH = CK et [BC] segment commun aux deux triangles.
Idéalement pour démontrer l'isométrie des triangles KBC et HCB, il nous faudrait savoir si les angles KBC et HCB sont égaux, ce qui reviendrait à utiliser le caractère isocèle du triangle ABC, lequel n'est pas encore démontré puisque c'est ce que l'on cherche à faire...
Il faut donc trouver autre chose.

N'oublions pas que nous sommes en présence de deux triangles particuliers

Nos triangles BKC et CHB sont rectangles en K et H, respectivement.
D'où il découle que par application du théorème de Pythagore, on peut écrire :
KB² + KC² = BC² et HB² + HC² = BC²
dont on déduit aisément :
KB² = BC² - KC² et HC² = BC² - HB²
et comme KC = HB, on a alors KB² = HC²
et donc KB = HC

Nous sommes donc en présence d'une paire d'angles droits (BKC et CHB) encadrés par deux paires de segments de même longueur (KB = HC et KC = HB).

Donc les triangles BKC et CHB sont isométriques.

D'où il découle que KBC et HCB sont des angles de même mesure.
Enfin, les angles KBC et ABC d'une part, HCB et ACB d'autre part étant confondus, le triangle ABC est donc isocèle en A.

NB : désolé pour la notation des angles, sur laquelle on devrait normalement voir un "chapeau".