En français, l'adjectif "auxiliaire" signifie "qui aide, dont on tire du secours" (source Wiktionary.org).
Ce mot est également un substantif dont le sens est équivalent.

Les auxiliaires de justice sont des juristes qui, sans être magistrats, concourent à la réalisation du service public de la Justice.
Une armée auxiliaire est celle qui seconde l’armée régulière.
Une auxiliaire familiale viendra dispenser une aide à domicile à des personnes en perte d'autonomie.
Voilà pour les exemples dans le langage courant, qui montrent bien qu'il ne faut pas se limiter à la définition grammaticale du mot "auxiliaire", laquelle découle du sens commun (et non pas le contraire).

En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction auxiliaire est, comme le sens commun le suggère, une fonction qui va nous aider à étudier une autre fonction, généralement qualifiée de "principale".

Typiquement, on vous propose une fonction principale f, que vous dérivez.
Vous vous apercevez alors que vous ne pouvez pas factoriser votre expression, car elle mêle (par exemple) exponentielles et polynomiales.
C'est alors que survient la fonction auxiliaire (que j'appelerai g), dont l'expression est en fait tout ou partie de votre dérivée de f.
Vous étudiez alors g (dérivation puis sens de variation), déterminez des racines, en valeur exacte ou approchée, selon la situation.
Vous trouvez alors le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Et c'est ainsi que vous pouvez conclure sur le signe de f'(x) puis sur le sens de variation de f.