Ceci est un exercice trouvé dans un manuel de seconde, qui demande un
cheminement de pensée peu guidé par l'énoncé.
Voici le sujet : dans un repère orthonormé par un point O et
deux vecteurs u et v, placer un point A de coordonnées (x;0) avec x réel
positif, puis construire le point de coordonnées (x;x²) à la règle non graduée
et au compas, en s'aidant du théorème de Thalès.
Comment procéder ?
Imaginons le problème résolu et observons la parabole obtenue (grâce à une
calculatrice graphique par exemple, ou en la traçant après avoir déterminé les
coordonnées de quelques points).
Pour appliquer le théorème de Thalès, il nous faut un triangle coupé par une
droite parallèle à une des bases.
De quels points pouvons-nous disposer :
- le point O, origine du repère,
- le point A, de coordonnées (x;0)
- le point B, de coordonnées (x;x²).
Ces 3 points constituent le triangle OAB.
Pour tracer une parallèle à l'une des bases, il nous faut 2 points
supplémentaires.
De toute évidence, il ne faut pas prendre un autre point sur la parabole, sinon
nous ne constaterons pas d'alignement sur 3 points.
Au moins un autre point est connu : le point U, tel que les vecteurs u et
OU sont égaux.
Ajoutons le point C, intersection de (OB) et de la parallèle à (AB) passant par
U.
(UC) et (AB) sont parallèles, car perpendiculaires à l'axe des abcisses et
donc, en application du théorème de Thalès, on a :
OU/OA = OC/OB = UC/AB
On connait les valeurs suivantes :
OU = 1
OA = x
AB = x²
donc 1/x = UC/x²
ce qui entraine :
UC = x²/x = x
Voilà donc la clé du problème.
Partant des points cités au début, O, U et A, il faut donc tracer une
perpendiculaire à l'axe des abcisses passant par U,
puis reporter sur cette droite la valeur OA=x à partir de U pour placer
C.
Ensuite, traçons la droite (OC) et plaçons le point concourant à (OC) et à la
parallèle à (UC) passant par A.
Ce point est le point B.
On peut ensuite tracer d'autres points en suivant cette méthode, et pour les
valeurs de x négatives en procédant symétriquement par rapport à l'axe des
ordonnées.
