blog de cours2maths.com - Arnaud Glorion

Pour Marine.
Rappel de l'énoncé : dans la figure ci-contre (clique !), constituée d'un carré et de deux triangles équilatéraux, exprimer les vecteurs DE et DF en fonction des vecteurs AB et AD, puis en déduire que les points D, E et F sont alignés.


Il nous est précisé que l'on pose AB = a, et il fallait en effet utiliser cette donnée.
Rappel sur le triangle équilatéral : il s'agit d'un triangle, en forme de triangle , dont les trois angles sont égaux à Pi/3.
Si l'on partage ce triangle en deux par le milieu (ce qui n'est pas à conseiller) on obtient deux moitiés de triangle (je suis décidément en forme ce soir).
Plus sérieusement, on peut écrire dans un triangle MNP, avec I milieu du segment MN :
sin(Pi/3) = PI/PN = rac(3)/2
Je note à partir d'ici rac(x) pour racine carrée de x.
Ce qui entraine :
PI = rac(3)/2 * PN
ou, si l'on nomme a la longueur d'un côté :
PI = rac(3)/2 * a

À partir d'ici, faute de pouvoir noter correctement les vecteurs sur ce blog, je te demande de considérer que AB désigne le vecteur AB, et de même pour tous les couples de lettres majuscules qui désignent désormais des vecteurs.

En généralisant aux vecteurs ce que l'on vient de démontrer, et en s'appuyant sur les propriétés du triangle équilatéral, mais aussi à des propriétés géométriques de base qu'il faudrait détailler pour être parfaitement rigoureux, on peut écrire :

IE = rac(3)/2 AD
et
JF = rac(3)/2 AB

En décomposant les vecteurs DE et DF :
DE = DA + AI + IE
= -AD + 1/2 AB + rac(3)/2 AD
= 1/2 AB + (rac(3)-2)/2 AD

DF = DC + CJ + JF
= AB - 1/2 AD+ rac(3)/2 AB
= (2+rac(3))/2 AB - 1/2 AD

La proportionnalité entre les coordonnées respectives des deux vecteurs n'étant pas évidente, il faut faire le calcul...
Je te conseille de poser ce calcul sur papier.

( (2+rac(3))/2 ) / 1/2 = 2 + rac(3)

-1/2 / (rac(3)-2)/2 = 1 / (2-rac(3))
= (2+rac(3)) / (4-3)
= 2 + rac(3)
(simplification usuelle d'une fraction contenant des racines carrées, ce grâce à la forme conjuguée du dénominateur)

On a donc la relation :

DF = ( 2 + rac(3) ) DE

Autrement dit, les vecteurs DF et DE sont colinéaires, d'où il découle que D, E et F sont alignés.

Passionnant, non ?
Allez, courage !